Question

【題目】對(duì)于函數(shù)f（x），若f（x）=x ， 則稱x為f（x）的“不動(dòng)點(diǎn)”，若f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）．
（1）若a=2，b=﹣2，求f（x）的不動(dòng)點(diǎn)；
（2）若f（x）有兩個(gè)不等的不等點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）

當(dāng)a=2，b=﹣2時(shí)，f（x）=2x2﹣x﹣4

設(shè)x為其不動(dòng)點(diǎn)，即2x2﹣x﹣4=x

則2x2﹣2x﹣4=0

∴x1=﹣1，x2=2，即f（x）的不動(dòng)點(diǎn)是﹣1，2．

（2）解：由f（x）=x得：ax2+bx+b﹣2（a≠0）

由已知，此方程有相異二實(shí)根，

△＞0恒成立，即

即b2﹣4ab+8a＞0恒成立．

∴16a2﹣32a＜0

解得：0＜a＜2

【解析】（1）由函數(shù)f（x）不動(dòng)點(diǎn)的定義，若f（x）=x ， 則稱x為f（x）的“不動(dòng)點(diǎn)”，結(jié)合f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），a=2，b=﹣2，我們可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，解方程，即可求出f（x）的不動(dòng)點(diǎn)．（2）若f（x）有兩個(gè)不等的不等點(diǎn)，則方程f（x）=x有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，由一元二次方程根的個(gè)數(shù)與△的關(guān)系，我們不難得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解集合的相等關(guān)系的相關(guān)知識(shí)，掌握只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，就稱這兩個(gè)集合相等．