Question

已知拋物線C：與直線l：y=kx-1沒有公共點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過P作拋物線C的兩條切線，A，B為切點(diǎn)．
（1）證明：直線AB恒過定點(diǎn)Q；
（2）若點(diǎn)P與（1）中的定點(diǎn)Q的連線交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求以A、B為切點(diǎn)的切線方程，再設(shè)出P（x，kx-1），代入兩條切線方程，得kx-1=xx₁-y₁．kx-1=xx₂-y₂．故直線AB的方程為kx-1=xx-y，過定點(diǎn)（k，1）
（2）先寫出直線PQ的方程y=（x-k）+1，代入拋物線方程，得關(guān)于x的一元二次方程，為利用韋達(dá)定理準(zhǔn)備條件，再設(shè)M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），要證=，只需證明，即2x₃x₄-（k+x）（x₃+x₄）+2kx=0，最后利用韋達(dá)定理將x₃+x₄和x₃x₄代入即可得證
解答：解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），則y₁=．
由得y′=x，所以．
于是拋物線C在A點(diǎn)處的切線方程為y-y₁=x₁（x-x₁），即y=x₁x-y₁．
設(shè)P（x，kx-1），則有kx-1=xx₁-y₁．設(shè)B（x₂，y₂），同理有kx-1=xx₂-y₂．
所以AB的方程為kx-1=xx-y，即x（x-k）-（y-1）=0，所以直線AB恒過定點(diǎn)Q（k，1）．
（2）PQ的方程為y=（x-k）+1，與拋物線方程聯(lián)立，消去y，得
x²-x+=0
設(shè)M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），則x₃+x₄=，x₃x₄=①
要證=，只需證明，即2x₃x₄-（k+x）（x₃+x₄）+2kx=0②
由①知，②式
左邊=-（x+x）+2kx
==0．
故②式成立，從而結(jié)論成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考察了拋物線的切線方程，直線與拋物線相交的性質(zhì)，解題時(shí)要特別注意韋達(dá)定理在解題時(shí)的重要運(yùn)用，還要有較強(qiáng)的運(yùn)算推理能力