Question

若n∈N^*，求證

1×4

+

2×5

+…+

n(n+3)

＜

1

2

(n+2)2．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：推理和證明

分析：通過不等式的左側的最后一項，利用基本不等式放大，然后求和即可．

解答： 證明：由題意可知

n(n+3)

＜

n+n+3

2

=n+

3

2

，
∴

1×4

+

2×5

+…+

n(n+3)

＜(1+

3

2

)+(2+

3

2

)+(3+

3

2

)+…+(n+

3

2

)
=

3

2

n+(1+2+3+…+n)
=

3

2

n+

n(n+1)

2

=

1

2

n2+2n＜

1

2

n2+2n+2
=

1

2

(n+2)2．
∴n∈N^*，

1×4

+

2×5

+…+

n(n+3)

＜

1

2

(n+2)2．恒成立．

點評：本題考查不等式的證明，放縮法的應用，與自然數(shù)有關的命題也可以利用數(shù)學歸納法證明．考查邏輯推理能力以及計算能力．