Question

10．已知cos（θ+$\frac{5π}{12}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且θ為銳角，則cos（$\frac{π}{4}$-θ）的值為（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 法一：由已知根據(jù)角的范圍，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin（θ+$\frac{5π}{12}$）的值，由$\frac{π}{4}$-θ=（θ+$\frac{5π}{12}$）-$\frac{2π}{3}$，利用兩角差的余弦函數(shù)公式即可計算得解．
法二：由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可求2sin（2θ+$\frac{π}{3}$）=0，解得：θ=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z，結(jié)合θ為銳角，可得：θ=$\frac{π}{3}$，進而利用兩角差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值即可計算得解．

解答 解：法一：∵cos（θ+$\frac{5π}{12}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且θ為銳角，
∴θ+$\frac{5π}{12}$∈（$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$），可得：sin（θ+$\frac{5π}{12}$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（θ+\frac{5π}{12}）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos（$\frac{π}{4}$-θ）=cos[（θ+$\frac{5π}{12}$）-$\frac{2π}{3}$]=cos（θ+$\frac{5π}{12}$）cos$\frac{2π}{3}$+sin（θ+$\frac{5π}{12}$）sin$\frac{2π}{3}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）×$（-\frac{1}{2}）$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．
法二：∵cos（θ+$\frac{5π}{12}$）=cos（θ+$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{12}$）=-sin（θ-$\frac{π}{12}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sin（θ-$\frac{π}{12}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sin（θ+$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴化簡可得：sinθ（1+$\sqrt{3}$）+cosθ（1-$\sqrt{3}$）=2，兩邊平方可得：sin2θ+$\sqrt{3}$cos2θ=0，
∴可得：2sin（2θ+$\frac{π}{3}$）=0，解得：θ=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∵θ為銳角，可得：θ=$\frac{π}{3}$，
∴cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{3}$）=cos$\frac{π}{4}$cos$\frac{π}{3}$+sin$\frac{π}{4}$sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．
故選：D．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．