Question

已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=ax+1（a是不為零的常數(shù)，且a∈R）．
（1）討論函數(shù)F（x）=f（x）•g（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，方程f（x）•g（x）=t在區(qū)間[-1，1]上有兩個(gè)解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意可得F（x）=f（x）g（x）=e^x（ax+1）
∴F′（x）=e^x（ax+a+1）
令∴F′（x）=e^x（ax+a+1）=0
∴
∴當(dāng)a＞0時(shí)F（x）=f（x）•g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（，+∞）單調(diào)減區(qū)間為（-∞，）
當(dāng)a＜0時(shí)F（x）=f（x）•g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，）單調(diào)減區(qū)間為（，+∞）
（2）由題意可得當(dāng)a=-1時(shí)，F(xiàn)（x）=f（x）•g（x）=e^x（-x+1）
由（1）可得當(dāng)a=-1時(shí)可以得出F（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，在（0，+∞）上為減函數(shù)
∴函數(shù)的最大值為F（0）=1
又∵方程f（x）•g（x）=t在區(qū)間[-1，1]上有兩個(gè)解
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-∞，1）．
分析：（1）求函數(shù)F（x）=f（x）•g（x）的導(dǎo)數(shù)F′（x），再根據(jù)F′（x）的零點(diǎn)，討論實(shí)數(shù)a的取值，可得F′（x）=0有一個(gè)或零個(gè)實(shí)數(shù)根，因此將實(shí)數(shù)集分為2個(gè)區(qū)間，分別在這兩個(gè)區(qū)間上討論的正負(fù)，即可得出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，F(xiàn)（x）=f（x）•g（x）=e^x（-x+1），可以得出F（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，在（0，+∞）上為減函數(shù)，故函數(shù)的最大值為F（0）=1，可以求出符合題的實(shí)數(shù)t的取值范圍；
點(diǎn)評(píng)：（1）函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)更能體現(xiàn)它的作用．
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值進(jìn)而求出參數(shù)的范圍．