Question

(本題滿分12分) 如圖，在正方體中，E、F分別是棱的中點．

（１）證明；

（２）求與所成的角；

（３）證明：面面.

Answer 1

方法1（坐標法解答前兩問）

（1）證明：以D為原點，DA，DC，DD₁所在直線為x軸，y軸，z軸建立直角坐標系，設正方體的棱長為2a，則由條件可得      （1分）

D(0,0,0), A(2a,0,0), C(0,2a,0), D₁(0,0,2a), E(2a, 2a, a), F(0, a, 0)，A₁(2a,0,2a)

=（-2a,0,0）,  =(0, a, -2a),

     ∴=-2a×0+0×a+0×(-2a)=0,       ∴，即。                （4分）

（2）解：∵，=(0, a, -2a),    

 ∴=0×0+2a×a+a×(-2a)=0           

∴cos<,>==0, 

即,的夾角為90°，所以直線AE與D₁F所成的角為直角。.（8分）

（3）證明：由（1）、（2）知D₁F⊥AD，D₁F⊥AE, 而AD∩AE=A，               

  ∴D₁F⊥平面AED，         

  ∵D₁F平面A₁FD₁            ∴平面AED⊥平面A₁FD₁.     （12分）

方法2（綜合法）

證明：因為AC₁是正方體，所以AD⊥面DC₁。 

 又DF₁DC₁，所以AD⊥D₁F.           （4分）

取AB中點G，連結A₁G，FG，               

因為F是CD的中點，所以GF∥AD，

又A₁D₁∥AD，所以GF∥A₁D₁     故四邊形GFD₁A₁是平行四邊形，A₁G∥D₁F。

設A₁G與AE相交于H，則∠A₁HA是AE與D₁F所成的角。   

因為E是BB₁的中點，所以Rt△A₁AG≌△ABE, ∠GA₁A=∠GAH,從而∠A₁HA=90°,

即直線AE與D₁F所成的角為直角。                     （8分）

（3）與上面解法相同。