Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與F（1，0）的距離比它到直線l：x+3=0的距離小2，設(shè)M的軌跡為G，正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，且（a_n，

2an+1

）在曲線G上，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為（　�。�

• A、a_n=2ⁿ
• B、a_n=2^n-1
• C、a_n=2n+1
• D、a_n=2-1

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先利用拋物線的定義，可得M的軌跡為拋物線，方程為y²=4x，利用（a_n，

2an+1

）在曲線G上，可得a_n+1=2a_n，
進(jìn)而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答： 解：∵動(dòng)點(diǎn)M與F（1，0）的距離比它到直線l：x+3=0的距離小2，
∴動(dòng)點(diǎn)M與F（1，0）的距離等于它到直線l：x=-1的距離，
∴M的軌跡為拋物線，方程為y²=4x．
∵（a_n，

2an+1

）在曲線G上，
∴a_n+1=2a_n，
∵正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2ⁿ．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義，考查等比數(shù)列的定義域通項(xiàng)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．