Question

已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)+

1

x-1

（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）當(dāng)a=3時(shí)，求f（x）的極值；
（3）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）欲求在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）先對(duì)函數(shù)y=f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0（或小于0）求出x的范圍，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可得到答案；
（3）先求函數(shù)的定義域，然后求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得出函數(shù)的極值若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．

解答：解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=2ln(x+1)+

1

x-1

，x＞-1且x≠1．
所以 f′(x)=

2

x +1

-

1

(x-1) 2

，
因此f′（0）=1．即曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線斜率為1．
又f（0）=-1，（4分）
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為x-y-1=0．
（2）因?yàn)?f(x)=3ln(x+1)+

1

x-1

，x＞-1且x≠1．
所以 f′(x)=

3

x +1

-

1

(x-1) 2

=

3x2-7x+2

(x+1)(x-1) 2

，
令f'（x）＞0⇒-1＜x＜

1

3

，或x＞2，令f'（x）＜0⇒

1

3

＜x＜2
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，

1

3

），（2，+∞）
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（

1

3

，2）
f（x）的極大值為f（

1

3

）=3ln

4

3

-

3

2

；
f（x）的極小值為f（2）=3ln3+

1

2

；
（3）∵f(x)=aln(x+1)+

1

x-1

∴f′(x)=

a

x +1

-

1

(x-1) 2

=

a(x-1)2-x-1

(x+1)(x-1) 2

令g（x）=a（x-1）²-x-1，x＞-1且x≠1
①當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=-x-1，
x∈（-1，+∞）時(shí)，g（x）＜0，此時(shí)f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．（9分）
②當(dāng) 0＜a＜

1

2

時(shí)，由f′（x）=0即解得x₁=1，x2=

1

a

-1，此時(shí)

1

a

-1＞1＞0，
所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）＞0，此時(shí)f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；（10分） x∈(1，

1

a

-1)時(shí)，g（x）＜0，此時(shí)f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；（11分） x∈(

1

a

-1，+∞)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．（12分）
綜上所述：當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng) 0＜a＜

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在 (1，

1

a

-1)上單調(diào)遞增；
在 (

1

a

-1，  +∞)上單調(diào)遞減．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．