Question

已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、BC的中點(diǎn)．
（1）證明：PF⊥FD；
（2）判斷并說(shuō)明PA上是否存在點(diǎn)G，使得EG∥平面PFD；
（3）若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A-PD-F的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：解法一（向量法）
（I）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，分別求出直線PF與FD的平行向量，然后根據(jù)兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，得到PF⊥FD；
（2）求出平面PFD的法向量（含參數(shù)t），及EG的方向向量，進(jìn)而根據(jù)線面平行，則兩個(gè)垂直數(shù)量積為0，構(gòu)造方程求出t值，得到G點(diǎn)位置；
（3）由是平面PAD的法向量，根據(jù)PB與平面ABCD所成的角為45°，求出平面PFD的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．
解法二（幾何法）
（I）連接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由線面垂直性質(zhì)定理可得DF⊥PA，再由線面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由線面垂直的性質(zhì)定理得到PF⊥FD；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)E作EH∥FD交AD于點(diǎn)H，則EH∥平面PFD，且有，再過(guò)點(diǎn)H作HG∥DP交PA于點(diǎn)G，則HG∥平面PFD且，由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，進(jìn)而由面面平行的性質(zhì)得到EG∥平面PFD．從而確定G點(diǎn)位置；
（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中點(diǎn)M，則FM⊥AD，F(xiàn)M⊥平面PAD，在平面PAD中，過(guò)M作MN⊥PD于N，連接FN，則PD⊥平面FMN，則∠MNF即為二面角A-PD-F的平面角，解三角形MNF可得答案．
解答：解法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，AB=1，AD=2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則A（0，0，0），B（1，0，0），F(xiàn)（1，1，0），D（0，2，0）．（2分）
不妨令P（0，0，t）∵，
∴，
即PF⊥FD．（4分）
（Ⅱ）設(shè)平面PFD的法向量為，
由，得，令z=1，解得：．
∴．   （6分）
設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0，m），，則，
要使EG∥平面PFD，只需，即，
得，從而滿足的點(diǎn)G即為所求．（8分）
（Ⅲ）∵AB⊥平面PAD，
∴是平面PAD的法向量，易得，（9分）
又∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，
得∠PBA=45°，PA=1，平面PFD的法向量為（10分）
∴，
故所求二面角A-PD-F的余弦值為．（12分）
解法二：（Ⅰ）證明：連接AF，則，，
又AD=2，∴DF²+AF²=AD²，
∴DF⊥AF（2分）
又PA⊥平面ABCD，
∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，
∴（4分）
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)E作EH∥FD交AD于點(diǎn)H，則EH∥平面PFD，且有（5分）
再過(guò)點(diǎn)H作HG∥DP交PA于點(diǎn)G，則HG∥平面PFD且，
∴平面GEH∥平面PFD（7分）
∴EG∥平面PFD．
從而滿足的點(diǎn)G即為所求．  （8分）
（Ⅲ）∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，且∠PBA=45°．
∴PA=AB=1（9分）
取AD的中點(diǎn)M，則FM⊥AD，F(xiàn)M⊥平面PAD，在平面PAD中，過(guò)M作MN⊥PD于N，連接FN，則PD⊥平面FMN，則∠MNF即為二面角A-PD-F的平面角（10分）
∵Rt△MND∽R(shí)t△PAD，
∴，
∵，且∠FMN=90°
∴，，
∴（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，空間直線與直線之間的位置關(guān)系，直線與平面平行的判定，其中解法一的關(guān)鍵是建立的空間坐標(biāo)系，將空間線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題，解法二的關(guān)鍵是熟練掌握空間線面關(guān)系的判定，性質(zhì)．