設(shè)E+=1(ab>0)的焦點(diǎn)為F1F2,且PE,∠F1PF2=2θ.求證:△PF1F2的面積S=b2tanθ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 證明:設(shè)|PF1|=r1,|PF2|=r2

S=r1r2sin2θ,又|F1F2|=2c,

由余弦定理有

(2c2=r12+r22-2r1r2cos2θ=(r1+r22-2r1r2-2r1r2cos2θ

=(2a2-2r1r2(1+cos2θ),于是2r1r2(1+cos2θ)=4a2-4c2=4b2.所以r1r2=.

從而有 S=·sin2θ=b2=b2tanθ.

 

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(2)如圖,設(shè)橢圓E的上、下頂點(diǎn)分別為A1、A2,P是橢圓上異于A1、A2的任意一點(diǎn),直線PA1、PA2分別交x軸于點(diǎn)N、M,若直線OT與過(guò)點(diǎn)M、N的圓G相切,切點(diǎn)為T(mén).證明:線段OT的長(zhǎng)為定值.

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如圖,設(shè)E:+=1(a>b>0)的焦點(diǎn)為F1與F2,且P∈E,∠F1PF2=2θ.
求證:△PF1F2的面積S=b2tanθ.

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