Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）分別求函數(shù)f（x）和g（x）的圖象在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）證明不等式；
（Ⅲ）對(duì)一個(gè)實(shí)數(shù)集合M，若存在實(shí)數(shù)s，使得M中任何數(shù)都不超過s，則稱s是M的一個(gè)上界．已知e是無窮數(shù)列所有項(xiàng)組成的集合的上界（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)a的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ），則f'（0）=0，g'（0）=0，且f（0）=0，g（0）=0，由此能求出函數(shù)f（x）和g（x）的圖象在x=0處的切線方程．
（Ⅱ）令函數(shù)，定義域是（-1，+∞），，設(shè)u（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x，則u'（x）=2ln（1+x）-2x，令v（x）=2ln（1+x）-2x，則，由此能夠證明．（Ⅲ）由題意可知不等式 對(duì)任意的n∈N^*都成立，且不等式等價(jià)于不等式，由此能求出a的最大值．
解答：解：（Ⅰ），
則f'（0）=0，g'（0）=0，且f（0）=0，g（0）=0，
所以函數(shù)f（x）和g（x）的圖象在x=0處的切線方程都是y=0…（3分）
（Ⅱ）令函數(shù)，定義域是（-1，+∞），，
設(shè)u（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x，
則u'（x）=2ln（1+x）-2x，
令v（x）=2ln（1+x）-2x，則，
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，v'（x）＞0，v（x）在（-1，0）上為增函數(shù)，
當(dāng)x＞0時(shí)，v'（x）＜0，v（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．
所以v（x）在x=0處取得極大值，且就是最大值，而v（0）=0，
所以u(píng)'（x）≤0，函數(shù)u（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)…（5分）
于是當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，u（x）＞u（0）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，u（x）＜u（0）=0，
所以，當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，h'（x）＞0，h（x）在（-1，0）上為增函數(shù)．
當(dāng)x＞0時(shí)，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．
故h（x）在x=0處取得極大值，且就是最大值，而h（0）=0，
所以h（x）≤0，
即，…（8分）
（Ⅲ）由題意可知不等式 對(duì)任意的n∈N^*都成立，
且不等式等價(jià)于不等式，
由知，，設(shè)，
則…（10分）
由（Ⅱ）知，，
即（1+x）ln²（1+x）-x²≤0，
所以F'（x）＜0，x∈（0，1]，
于是F（x）在（0，1]上為減函數(shù)．
故函數(shù)F（x）在（0，1]上的最小值為，
所以a的最大值為…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，考查不等式的證明，考查實(shí)數(shù)的最大值的求法．考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)．