Question

如圖，弧AEC是半徑為a的半圓，AC為直徑，點(diǎn)E為弧AC的中點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C為線(xiàn)段AD的三等分點(diǎn)，平面
AEC外一點(diǎn)F滿(mǎn)足FC⊥平面BDE，F(xiàn)B=。

（1）證明：平面BEF⊥平面BDF；
（2）求二面角F-DE-B的正切值。

Answer 1

（1）證明：∵FC⊥平面BDE，
∴FC⊥EB，
∵點(diǎn)B和點(diǎn)C為線(xiàn)段AD的三等分點(diǎn)，
∴點(diǎn)B為圓心，
又∵點(diǎn)E為半圓弧AC的中點(diǎn)，
∴AC⊥EB，
又∵FC∩AC=C，
∴EB⊥平面FBD，
又∵EB平面FBE，
∴平面FBE⊥平面FBD。
（2）解：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥DE于點(diǎn)G，連結(jié)CG，
∵FC⊥平面BDE，
∴FC⊥DE，
又∵FC∩FG=F，
∴DE⊥平面FCG，
∴DE⊥CG，
則∠FGC就是所求二面角F-DE-B的平面角，
在Rt△FBC中，F(xiàn)B=，半徑BC=a，
∴FC=2a，
在Rt△BED中，BD=2a，半徑BE=a，
∴DE=，
在Rt△DCE中，CG=，
∴，
即二面角F-DE-B的正切值為。