Question

【題目】設橢圓C： =1（a＞b＞0）的焦點F1 ， F2 ， 過右焦點F2的直線l與C相交于P、Q兩點，若△PQF1的周長為短軸長的2 倍．
（Ⅰ）求C的離心率；
（Ⅱ）設l的斜率為1，在C上是否存在一點M，使得 ？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓C： =1（a＞b＞0）的焦點F1，F(xiàn)2，過右焦點F2的直線l與C相交于P、Q兩點，

△PQF1的周長為短軸長的2 倍，△PQF1的周長為4a

∴依題意知 ，即

∴C的離心率

（Ⅱ）設橢圓方程為 ，直線的方程為y=x﹣c，

代入橢圓方程得

設P（x1，y1），Q（x2，y2），則 ，

設M（x0，y0），則 ①

由 得

代入①得

因為 ， ，

所以 ②

而

從而②式不成立．

故不存在點M，使 成立

【解析】（Ⅰ）由橢圓的焦點F1，F(xiàn)2，過右焦點F2的直線l與C相交于P、Q兩點，△PQF1的周長為短軸長的2 倍，得到 ，由此能求出橢圓C的離心率．（Ⅱ）設橢圓方程為 ，直線的方程為y=x﹣c，代入橢圓方程得 ，由此利用韋達定理、橢圓性質、向量知識，結合已知條件能求出不存在點M，使 成立．