Question

設(shè)函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=x²+4x．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）證明f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設(shè) x＜0，則-x＞0，利用x≥0時的解析式，根據(jù)奇偶性就可求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于0，即可得到結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：設(shè)x＜0，則-x＞0
∴f（-x）=（-x）²+4（-x）=x²-4x
又∵f（x）在R上為奇函數(shù)
∴f（x）=-f（-x）=-（x²-4x）=-x²+4x
∴f（x）=

x2+4x，x≥0 -x2+4x，x＜0

；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞0時，f（x）=x²+4x，則f′（x）=2x+4＞0
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

點評：本題考查利用函數(shù)奇偶性求對稱區(qū)間上的函數(shù)解析式，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．