Question

已知函數(shù)f′（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)，且滿足：①

f(x)-f′(x)

x-1

＞0；②e^xf（1-x）-e^-xf（1+x）=0，設a=ef（1），b=f（2），c=e³f（-1）．則a，b，c的大小順序為（　　）

• A、a＞b＞c
• B、a＞c＞b
• C、b＞c＞a
• D、b＜a＞c

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：根據(jù)條件，構造函數(shù)g（x）=

f(x)

ex-2

，利用函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)值的大小，即可得到結(jié)論

解答： 解：由①知，當x＞1時，f（x）-f′（x）＞0，當x＜1時，f（x）-f′（x）＜0，
設g（x）=

f(x)

ex-2

，則g′（x）=

f′(x)ex-2-f(x)ex-2

(ex-2)2

=

f′(x)-f(x)

ex-2

，
則當x＞1時，g′（x）＜0，此時函數(shù)遞減，
當x＜1時，g′（x）＞0，此時函數(shù)遞增，
則a=ef（1）=

f(1)

e-1

=g（1），b=f（2）=

f(2)

e2-2

=g(2)，c=e³f（-1）=

f(-1)

e-3

=g（-1）．
∴g（-1）＜g（1），g（1）＞g（2），則g（1）最大，即a最大．
由e^xf（1-x）-e^-xf（1+x）=0得f（2+x）=f（-x）•e^2+2x，
則g（2）=f（2）=f（0）e²=

f(0)

e-2

=g(0)，
∵g（0）＞g（-1），
∴g（2）＞g（-1），即a＞b＞c，
故選：A

點評：本題考查了利用函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性基本方法，恰當構造函數(shù)是解題的關鍵，難度較大．