Question

已知遞增的等比數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)之積是64，且a₂-1，a₃-3，a₄-9成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)b_n=n•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閿?shù)列{a_n}為遞增的等比，所以只要求出a₁，q就可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．根據(jù)前三項(xiàng)之積是64，可以得到一個含a₁，q的等式，根據(jù)a₂-1，a₃-3，a₄-9成等差數(shù)列又可以得到一個含a1，q的等式，兩個方程聯(lián)立，解出a₁，x即可
（2）把（1）中所求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=n•a_n，求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再利用錯位相減，就可得到數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）設(shè)公比為q
由題意得：a₂=4，
∵2（a₃-3）=a₂-1+a₄-9，∴2（4q-3）=3+4q²-9，解得：q=2
∴a_n=2ⁿ
（2）∵S_n=b₁+b₂+…+b_n
=1×2+2×2²+…+n×2ⁿ
∴2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹
兩式相減得，S_n=-2-2²-2³-…-2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹=

-2(1-2n)

1-2

+n×2n+1=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2

點(diǎn)評：本題考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，以及錯位相減求數(shù)列的和，做題時要細(xì)心．