已知函數(shù)f(x)=alnx-ax-3(a≠0).
(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間
(2)函數(shù)f(x)的圖象在x=4處切線的斜率為
3
2
,若函數(shù)g(x)=
1
3
x3+x2[f′(x)+
m
2
]
在區(qū)間(1,3)上不是單調函數(shù),求m的取值范圍.
分析:(1)先求導數(shù)f′(x),然后討論a的正負,再結合導數(shù)與函數(shù)單調性的關系分情況討論即可;
(2)由切線斜率為
3
2
,可求出a值,進而求出f(x)、f′(x),根據(jù)g(x)在區(qū)間(1,3)上不單調,則g′(x)在區(qū)間(1,3)上改變符號,從而得到m所滿足的條件.
解答:解 (1)∵f(x)=alnx-ax-3(a≠0),
∴f′(x)=
a(1-x)
x
(x>0),
①當a>0時,若x∈(0,1),則f′(x)>0;若x∈(1,+∞),則f′(x)<0,
∴當a>0時,f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1],單調遞減區(qū)間為[1,+∞);
②當a<0時,若x∈(1,+∞),則f′(x)>0;若x∈(0,1),則f′(x)<0,
∴當a<0時,f(x)的單調遞增區(qū)間為[1,+∞),單調遞減區(qū)間為(0,1];
(2)由題意知,f′(4)=-
3a
4
=
3
2
,得a=-2,則f(x)=-2lnx+2x-3,
∴g(x)=
1
3
x3+x2(2-
2
x
+
m
2
)=
1
3
x3+(
m
2
+2)x2-2x,
∴g′(x)=x2+(m+4)x-2.
∵g(x)在區(qū)間(1,3)上不是單調函數(shù),且g′(0)=-2<0,
g′(1)<0
g′(3)>0
,即
1+(m+4)-2<0
32+3(m+4)-2>0
解得-
19
3
<m<-3,
故m的取值范圍是(-
19
3
,-3).
點評:本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程.導數(shù)的幾何意義即在某點處的導數(shù)即該點處切線的斜率,解題時要注意運用切點在曲線上和切點在切線上.對于利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,注意導數(shù)的正負對應著函數(shù)的單調性.利用導數(shù)研究函數(shù)問題時,經常會運用分類討論的數(shù)學思想方法.屬于中檔題.
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
(2)設g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點的連線的斜率,否存在實數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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34
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