設二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)滿足下列條件:
①當x∈R時,f(x)的最小值為0,且圖象關于直線x=-1對稱;
②當x∈(0,5)時,x≤f(x)≤2|x-1|+1恒成立.
(1)求f(1)的值;
(2)求函數(shù)f(x)的解析式;
(3)若f(x)在區(qū)間[m-1,m]上恒有|f(x)-x|≤1,求實數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)由“當x∈(0,5)時,x≤f(x)≤2|x-1|+1恒成立”得到當x=1時,也成立,所以有1≤f(1)≤1,
從而得到f(1);
(2)由“當x∈R時,f(x)的最小值為0,且圖象關于直線x=-1對稱”,可知對稱軸及在對稱軸處取得最值,創(chuàng)造兩個條件,再由f(1)=1,可求得二次函數(shù)的解析式.
(3)根據(jù)第二問可設:g(x)=f(x)-x=
1
4
(x-1)2
,由“|f(x)-x|≤1”可得x∈[-1,3],從而求得結論.
解答:解:(1)∵當x∈(0,5)時,x≤f(x)≤2|x-1|+1恒成立
∴1≤f(1)≤1
∴f(1)=1;
(2)∵當x∈R時,f(x)的最小值為0,且圖象關于直線x=-1對稱;
-
b
2a
=-1
,f(-1)=a-b+c=0
又∵f(1)=a+b+c=1
a=
1
4
,b=
1
2
,c=
1
4

f(x)=
1
4
(x+1)2

(3)設g(x)=f(x)-x=
1
4
(x-1)2

關于x=1對稱 
當x∈[-1,3]時,|f(x)-x|≤1
∴0≤m≤3.
點評:本題主要考查二次函數(shù)求解析式,里面有三個未知數(shù)所以要尋求三個條件來解,同時還考查了用二次函數(shù)構造新函數(shù)來研究恒成立問題,二次函數(shù)滲透性強,應用范圍廣,圖象和性質要靈活掌握.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c滿足f(-1)=0,對于任意的實數(shù)x都有f(x)-x≥0,并且當x∈(0,2)時,f(x)≤(
x+12
)
2

(1)求f(1)的值;
(2)求證:a>0,c>0;
(3)當x∈(-1,1)時,函數(shù)g(x)=f(x)-mx,m∈R是單調的,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的兩個根x1、x2滿足0<x1<x2
1
a
,且函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=x0對稱,則有( �。�
A、x0
x1
2
B、x0
x1
2
C、x0
x1
2
D、x0
x1
2
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設二次函數(shù)f(x)=ax2+(2b+1)x-a-2(a,b∈R,a≠0)在[3,4]上至少有一個零點,求a2+b2的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)滿足:當x=1時,f(x)取得最小值1,且f(0)=
32

(1)求a、b、c的值;
(2)是否存在實數(shù)m,n,使x∈[m,n]時,函數(shù)的值域也是[m,n]?若存在,則求出這樣的實數(shù)m,n;若不存在,則說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設二次函數(shù)f(x)=x2+x+a(a>0),若f(m)<0,則有(  )

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同步練習冊答案
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