Question

已知A（1，1）是橢圓=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的兩焦點(diǎn)，且滿足|AF₁|+|AF₂|=4．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)C、D是橢圓上兩點(diǎn)，直線AC、AD的傾斜角互補(bǔ)，求直線CD的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓的定義可知|AF₁|+|AF₂|=4=2a，然后將點(diǎn)A（1，1）代入橢圓方程即可求出a，b的值，從而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）先假設(shè)出直線AV的方程，然后聯(lián)立直線與橢圓消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，進(jìn)而表示出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，再由AC、AD直線傾斜角互補(bǔ)可得到直線AD的方程，進(jìn)而可得到D的橫坐標(biāo)，然后將點(diǎn)C、D的橫坐標(biāo)分表代入直線方程可得到其對應(yīng)的縱坐標(biāo)，即可得到答案．
解答：解：（1）由橢圓定義知2a=4，所以a=2，
即橢圓方程為=1
把（1，1）代入得=1所以b²=，橢圓方程為：=1
（2）由題意知，AC的傾斜角不為90，故設(shè)AC方程為y=k（x-1）十1，
聯(lián)立消去y，得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0．
∵點(diǎn)A（1，1）、C在橢圓上，∴x_C=
∵AC、AD直線傾斜角互補(bǔ)，∴AD的方程為y=-k（x-l）+1，
同理x_D=
又y_C=k（x_C-1）+1，y_D=-k（x_D-1）+1，
∴y_C-y_D=k（x_C+x_D）-2k．
∴．
點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與橢圓的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合問題是高考的重點(diǎn)問題，每年必考，且常以壓軸題的形式出現(xiàn)，一定要強(qiáng)化復(fù)習(xí)．