Question

若f（x）=（x+a）（|x-a|+|x-4|）的圖象是中心對稱圖形，則a=

 

．

Answer 1

考點：帶絕對值的函數(shù)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)中心對稱的定義和性質(zhì)，建立方程即可得到結(jié)論．
或?qū)⒑瘮?shù)解析式去絕對值號，進(jìn)行整理，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)形式，再依據(jù)函數(shù)圖象是中心對稱圖形，即可得到答案．

解答： 解：f(x+

a+4

2

)=(x+

3a+4

2

)(|x+

4-a

2

|+|x+

a-4

2

|)，
因為g(x)=|x+

4-a

2

|+|x+

a-4

2

|為偶函數(shù)，所以當(dāng)且僅當(dāng)

3a+4

2

=0，即a=-

4

3

時，f(x+

a+4

2

)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱．
另解：
①若a=4，則f（x）=2（x+4）|x-4|=

2x2-32 (x≥4) 32-2x2 (x＜4)

，圖象不具有中心對稱性；
②若a＞4，則f（x）=（x+a）（|x-a|+|x-4|）=

(x+a)(2x-a-4) (x＞a) (a-4)(x+a) (4≤x≤a) -(x+a)(2x-a-4) (x＜4)

．
若圖象中心對稱，則對稱中心必為(

a+4

2

，f(

a+4

2

))．
從而，對任意x＞a，f(x)+f(a+4-x)=2f(

a+4

2

)恒成立，
即（x+a）（2x-a-4）-（2a+4-x）（a+4-2x）=2(a-4)(

a+4

2

+a)恒成立，
所以

3a+4=0 a(7a+8)=0

，無解；
③若a＜4，則f（x）=（x+a）（|x-a|+|x-4|）=

(x+a)(2x-a-4) (x＞4) (4-a)(x+a) (a≤x≤4) -(x+a)(2x-a-4) (x＜a)

．
若圖象中心對稱，則對稱中心必為(

a+4

2

，f(

a+4

2

))．
從而，對任意x＞4，f(x)+f(a+4-x)=2f(

a+4

2

)恒成立，
即（x+a）（2x-a-4）-（2a+4-x）（a+4-2x）=2(4-a)(

a+4

2

+a)恒成立，
所以3a+4=0，故a=-

4

3

．
故答案為：-

4

3

．

點評：本題主要考查函數(shù)對稱的應(yīng)用，利用條件構(gòu)造方程是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度較大，一般不太容易想到構(gòu)造法．