Question

設(shè)函數(shù)f_n（θ）=sinⁿθ+（-1）ⁿcosⁿθ，0≤θ≤π，其中n≥3，n∈N．
（1）確定函數(shù)f₃（θ）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（2）對于任意給定的正整數(shù)n，求函數(shù)f_n（θ）在區(qū)間[0，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）當n=3時f₃（θ）=sin³θ-cos³θ，求導數(shù)得f₃'（θ）=3sinθcosθ （sinθ+cosθ）．再根據(jù)0≤θ≤π，分三個區(qū)間討論f₃'（θ）的正負，可得函數(shù)f₃（θ）的增區(qū)間為[0，

π

2

]和[

3π

4

，π]，減區(qū)間為 [

π

2

，

3π

4

]．
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，證出：當n為不小于3的奇數(shù)時，f_n（θ）在[0，

π

4

]上為單調(diào)遞增函數(shù)，從而得到此時函數(shù)f_n（θ）的最大值為0，最小值為-1．當n為偶數(shù)時利用導數(shù)研究函數(shù)f_n（θ）的單調(diào)性，可得此時在區(qū)間[0，

π

4

]上f_n（θ）為減函數(shù)，得f_n（θ）的最大值為1，最小值為2(

2

2

)n．再加以綜合即得本題的答案．

解答：解：（1）∵函數(shù)f₃（θ）=sin³θ-cos³θ，
∴f₃'（θ）=3sin²θcosθ+3cos²θsinθ=3sinθcosθ （sinθ+cosθ）．
∵在 [0，

π

2

]上，f₃′（θ）≥0；在[

π

2

，

3π

4

]上，3sinθcosθ≤0，sinθ+cosθ≥0，故f₃′（θ）≤0；
在[

3π

4

，π]上，3sinθcosθ≤0，sinθ+cosθ≤0，故f₃′（θ）≥0．
∴函數(shù)f₃（θ）的增區(qū)間為[0，

π

2

]和[

3π

4

，π]，減區(qū)間為 [

π

2

，

3π

4

]．
（2）由（1）的結(jié)論，得n=3時，函數(shù)f₃（θ）在[0，

π

4

]上為單調(diào)遞增．
∴f₃（θ）的最大值為f₃（

π

4

）=0，最小值為f₃（0）=-1．
下面討論正奇數(shù)n≥5的情形：對任意θ₁、θ₂∈[0，

π

4

]，且θ₁＜θ₂，
∵f_n（θ₁）-f_n（θ₂）=（sinⁿθ₁-sinⁿθ₂）+（cosⁿθ₂-cosⁿθ₁），
且0≤sinθ₁＜sinθ₂＜1，0≤cosθ₂＜cosθ₁＜1，
∴sinⁿθ₁＜sinⁿθ₂，cosⁿθ₂＜cosⁿθ₁，從而f_n（θ₁）＜f_n（θ₂）．
∴f_n（θ）在[0，

π

4

]上為單調(diào)遞增函數(shù)，
則f_n（θ）的最大值為f_n（

π

4

）=0，最小值為f_n（0）=-1．
因此，當n為奇數(shù)時，函數(shù)f_n（θ）的最大值為0，最小值為-1．
當n為偶數(shù)時，f_n（θ）=sinⁿθ+（-1）ⁿcosⁿθ=sinⁿθ+cosⁿθ，
∴[f_n（θ）]'=nsin^n-1θ•cosθ-ncos^n-1θsinθ=nsinθcosθ（sin^n-2θ-cos^n-2θ），
∵θ∈[0，

π

4

]，可得0≤sinθ≤cosθ＜1，
∴sin^n-2θ≤cos^n-2θ，得sin^n-2θ-cos^n-2θ≤0，
因此[f_n（θ）]'=nsinθcosθ（sin^n-2θ-cos^n-2θ）≤0，
可得n為偶數(shù)時，f_n（θ）=sinⁿθ+（-1）ⁿcosⁿθ在區(qū)間[0，

π

4

]上為減函數(shù)，
可得函數(shù)f_n（θ）的最大值為f（0）=0，
最小值為f（

π

4

）=（sin

π

4

）ⁿ+（cos

π

4

）ⁿ=2(

2

2

)n．
綜上所述，當n為奇數(shù)時，f_n（x）_min=-1，f_n（x）_max=0；
當n為偶數(shù)時，fn(x)min=2(

2

2

)n，fn(x)max=1．

點評：本題考查了三角函數(shù)的最值，函數(shù)單調(diào)性的判定以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查了根據(jù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性和利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，屬于中檔題．