Question

某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)件，需另投入的成本為（單位：萬(wàn)元），當(dāng)年產(chǎn)量小于80萬(wàn)件時(shí)，;當(dāng)年產(chǎn)量不小于80萬(wàn)件時(shí)，.假設(shè)每萬(wàn)件該產(chǎn)品的售價(jià)為50萬(wàn)元，且該廠當(dāng)年生產(chǎn)的該產(chǎn)品能全部銷(xiāo)售完.

（1）寫(xiě)出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，該廠在該產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

 

Answer 1

（1）；（2）100萬(wàn)件，1000萬(wàn)元

【解析】

試題分析：（1）利潤(rùn)銷(xiāo)售額成本，銷(xiāo)售額銷(xiāo)售量單價(jià)，設(shè)年產(chǎn)量為（萬(wàn)件），當(dāng) 時(shí)，銷(xiāo)售額，成本； 當(dāng)時(shí)，銷(xiāo)售額，成本；（2）轉(zhuǎn)化為求的最大值即可，注意解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟：審題、建模、解模、還原。

（1）當(dāng)時(shí)，

；

當(dāng)時(shí)，.

所以 6′

（2）當(dāng) 8′

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以. 11′

綜上，當(dāng)時(shí)，取得最大值，即年產(chǎn)量為100萬(wàn)件時(shí)，該廠在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1000萬(wàn)元. 12′

考點(diǎn)：（1）求分段函數(shù)的解析式及最值；（2）基本不等式在求最值中的應(yīng)用。