Question

【題目】已知函數(shù).

(1)若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；

(2)若在處取得極值，判斷當(dāng)時(shí)，存在幾條切線與直線平行，請(qǐng)說明理由；

(3)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案見解析；(Ⅲ)證明見解析.

【解析】

(Ⅰ)由題意可得恒成立 ，構(gòu)造函數(shù)，令,由導(dǎo)函數(shù)的解析式可知在遞增,在遞減, 據(jù)此計(jì)算可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(Ⅱ) 由在處取得極值可得.原問題等價(jià)于求解在區(qū)間內(nèi)解的個(gè)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)在特殊點(diǎn)處的函數(shù)值即可確定切線的條數(shù).而事實(shí)情況下檢驗(yàn)時(shí)函數(shù)不存在極值點(diǎn)，所以不存在滿足題意的實(shí)數(shù)，也不存在滿足題意的切線.

(Ⅲ)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),不妨設(shè)，易知,結(jié)合函數(shù)的解析式和零點(diǎn)的性質(zhì)即可證得題中的不等式.

(Ⅰ)由已知,恒成立

令,

則,

,令,解得:,令,解得:,

故在遞增,在遞減,

，由恒成立可得.

即當(dāng)在上單調(diào)遞減時(shí),的取值范圍是.

(Ⅱ)在處取得極值，則，可得.

令，即 .

設(shè)，則.

故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

注意到，，

則方程在內(nèi)只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，

即當(dāng)時(shí)，只有一條斜率為且與函數(shù)圖像相切的直線.

但事實(shí)上，若，則，

，

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

且，故函數(shù)在區(qū)間上恒成立，

函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，即函數(shù)不存在極值點(diǎn)，

即不存在滿足題意的實(shí)數(shù)，也不存在滿足題意的切線.

(Ⅲ)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),不妨設(shè)，

由(Ⅰ)可知,且：

①,

②,

由①-②得:,

即 ,

由①+②得:,

.