Question

如圖，在四棱錐O-ABCD中，OA⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA=2，M、N、Q分別為OA、BC、CD的中點．
（Ⅰ）證明：DN⊥平面OAQ；
（Ⅱ）求點B到平面DMN的距離．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，可知AO，AB，AD兩兩垂直，于是可如圖建立空間直角坐標(biāo)系，從而可得以下各點的坐標(biāo)：A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），O（0，0，2），M（0，0，1），N（2，1，0），Q（1，2，0），
∵．∴．即AQ⊥DN．
又知OA⊥DN，∴DN⊥平面OAQ．
（Ⅱ）設(shè)平面DMN的法向量為，
由．得即，
令x=1，得平面DMN的法向量，
∴點B到平面DMN的距離．
分析：（Ⅰ）如圖建立空間直角坐標(biāo)，由可得 ，即AQ⊥DN，又知OA⊥DN，可得DN⊥平面OAQ．
（Ⅱ） 設(shè)平面DMN的法向量為，由 可得的坐標(biāo)，利用點B到平面DMN的距離，求得結(jié)果．
點評：本題考查兩個向量垂直的條件，線面垂直的判定，用向量法求點到面的距離，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，求平面DMN的法向量的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．