Question

某種產品的廣告費支出x與銷售額y（單位：萬元）之間有如下對應數(shù)據(jù)：

x	2	4	5	6	8
y	30	40	60	50	70

若廣告費支出x與銷售額y回歸直線方程為y=6.5x+a（a∈R）．
（I）試預測當廣告費支出為12萬元時，銷售額是多少？
（Ⅱ）在已有的五組數(shù)據(jù)中任意抽取兩組，求至少有一組數(shù)據(jù)其預測值與實際值之差的絕對值不超過5的概率．

Answer 1

考點：古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（I）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)先做出數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即樣本中心點，根據(jù)最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)，寫出線性回歸方程．把所給的廣告費支出為12萬元時，代入線性回歸方程，可得對應的銷售額．
（II）分別求出在已有的五組數(shù)據(jù)中任意抽取兩組的情況總數(shù)，及至少有一組數(shù)據(jù)其預測值與實際值之差的絕對值不超過5的情況數(shù)，代入古典概型概率計算公式，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵

.

x

=

2+4+5+6+8

5

=5，

.

y

=

30+40+50+60+70

5

=50，
點（5，50）在回歸直線上，代入回歸直線方程求得a=17.5，
所求回歸直線方程為：

?

y

=6.5x+17.5…（3分）
當廣告支出為12時，銷售額約為

?

y

=6.5×12+17.5=95.5萬元．…（5分）
（Ⅱ）實際值和預測值對應表為：

x	2	4	5	6	8
y	30	40	60	50	70
? y	30.5	43.5	50	56.5	69.5

在已有的五組數(shù)據(jù)中任意抽取兩組的基本事件：
（30，40），（30，60），（30，50），（30，70），（40，60），
（40，50），（40，70），（60，50），（60，70），（50，70）共10個，…（10分）
兩組數(shù)據(jù)其預測值與實際值之差的絕對值都超過5的有（60，50），
所以至少有一組數(shù)據(jù)其預測值與實際值之差的絕對值不超過5的概率為P=1-

1

10

=

9

10

．…（12分）

點評：本題考查的知識點是古典概型概率計算公式，其中熟練掌握利用古典概型概率計算公式求概率的步驟，是解答的關鍵．