Question

已知函數(shù)f（x）=e^2x+1-ax+1，a∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線與直線x+ey+1=0垂直，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)a＜2e³，當x∈[0，1]時，都有f（x）≥1成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)恒成立問題,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到f′（0），由f′（0）=e，求得a的值；
（2）求出導函數(shù)，由導函數(shù)的正負性，求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意函數(shù)中含有參數(shù)a，所以要對a進行分類討論；
（3）對f（x）≥1進行化簡，用分離變量法，把a表示成關(guān)于x的一個不等式，從而構(gòu)造函數(shù)g（x），求g（x）的最小值，即a≤g（x）_min．

解答： 解：f′（x）=2e^2x+1-a，
（1）由題意知：f′（0）=2e-a=e，得a=e；
（2）當a≤0時，f′（x）＞0，
∴f（x）在R上單調(diào)遞增，
當a＞0時，由：f′（x）=2e^2x+1-a＞0，得x＞

1

2

ln

a

2

-

1

2

，
∴f（x）在(

1

2

ln

a

2

-

1

2

，+∞)上單調(diào)遞增，
由：f′（x）=2e^2x+1-a＜0，得x＜

1

2

ln

a

2

-

1

2

，
∴f（x）在（-∞，

1

2

ln

a

2

-

1

2

）上單調(diào)遞減，
綜上：當a≤0時，f（x）的單調(diào)遞增為R，
當a＞0時，f（x）的單調(diào)遞增為(

1

2

ln

a

2

-

1

2

，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，

1

2

ln

a

2

-

1

2

），
（3）由f（x）≥1得，e^2x+1≥ax，當x=0時，不等式成立，當x∈（0，1]時，a≤

e2x+1

x

，
令g(x)=

e2x+1

x

，則g′(x)=

(2x-1)e2x+1

x2

，易知，當x＜

1

2

時g′（x）＜0，當x＞

1

2

時g′（x）＞0，
∴g（x）在(0，

1

2

)上單調(diào)遞減，在(

1

2

，1)上單調(diào)遞增，
∴g（x）的最小值為g(

1

2

)=2e2，
∴a的取值范圍為（-∞，2e²]．

點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)符號的關(guān)系，利用函數(shù)的最值解決恒成立問題，訓練了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．