Question

若

m2x-1

mx+1

＜0（m≠0）對(duì)一切x≥4恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)f（x）=

m2x-1

mx+1

，m≠0，可求得f′（x）=

m(m+1)

(mx+1)2

，依題意，要使f（x）＜0恒成立，需對(duì)m分m＞0，-1＜m＜0，及m=-1三類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案．

解答： 解：∵設(shè)f（x）=

m2x-1

mx+1

，m≠0，
則f′（x）=

m2(mx+1)-m(m2x-1)

(mx+1)2

=

m(m+1)

(mx+1)2

，
∵x≥4，要使f（x）＜0恒成立，需分3種情況：
①若m＞0或m＜-1，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，f（4）=

4m2-1

4m+1

＜0，且

lim

x→+∞

m2x-1

mx+1

=m＜0；
解得：m＜-1；
∴m＜-1；
②若-1＜m＜0，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，f（4）=

4m2-1

4m+1

＜0，
解得：-1＜m＜-

1

2

，或-

1

4

＜m＜0；
∴-1＜m＜-

1

2

或-

1

4

＜m＜0；
③若m=-1，f（x）=

x-1

-x+1

=-1＜0．
綜上所述，m的取值范圍是（-∞，-

1

2

）∪（-

1

4

，0）
故答案為：（-∞，-

1

2

））∪（-

1

4

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問題，考查構(gòu)造函數(shù)思想與分類討論思想的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)法判定函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題．