Question

如圖，ABCD是梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥面ABCD，且AB=1，AD=1，CD=2，PA=3，E為PD的中點(diǎn)．
（1）求證：AE∥面PBC；
（2）求直線PC與平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

解：（1）取PC中點(diǎn)F，連接EF、BF．
∵△PCD中E、F分別為PD、PC的中點(diǎn)，
∴EF∥DC且EF=，
∵AB∥DC且AB=，∴EF∥AB，且EF=AB，…（3分）
∴ABFE為平行四邊形，可得AE∥BF，
∵AE?面PBC，BF?面PBC，∴AE∥面PBC．…（6分）
（2）∵PA⊥面ABCD，
∴AC是直線PC在平面ABCD內(nèi)的射影，得∠PCA就是直線PC與平面ABCD所成角
∵AD=1，CD=2，∴Rt△ADC中，AC==
又∵PA=3，∴Rt△PAC中，PC==，…（10分）
因此，Rt△PCA中，cos∠PCA===，
即直線PC與平面ABCD所成角的余弦值為．…（12分）
分析：（1）取PC中點(diǎn)F，連接EF、BF．利用三角形中位線定理，可得EF∥DC且EF=，結(jié)合題意得EF∥AB，且EF=AB，所以ABFE為平行四邊形，可得AE∥BF，由此即得AE∥面PBC；
（2）根據(jù)PA⊥面ABCD得∠PCA就是直線PC與平面ABCD所成角，因此利用題中的位置關(guān)系和長度數(shù)據(jù)，算出Rt△PCA中PC和AC的長度，再利用直角三角形三角函數(shù)的定義，即可求出∠PCA的余弦，從而得到直線PC與平面ABCD所成角的余弦值．
點(diǎn)評：本題給出底面為直角梯形的四棱錐，求證線面平行并求直線與平面所成角的大小，著重考查了空間線面平行判定定理和線面角大小的求法等知識，屬于中檔題．