Question

【題目】已知⊙M過點(diǎn)，且與⊙N：內(nèi)切，設(shè)⊙M的圓心M的軌跡為曲線C．

（1）求曲線C的方程：

（2）設(shè)直線l不經(jīng)過點(diǎn)且與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)．若直線PB與直線QB的斜率之積為，判斷直線l是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，直線l過定點(diǎn)

【解析】

（1）由兩圓相內(nèi)切的條件和橢圓的定義，可得曲線C的軌跡方程；

（2）設(shè)直線BP的斜率為，則BP的方程為，聯(lián)立橢圓方程，解得交點(diǎn)P，同理可得Q的坐標(biāo)，考慮P，Q的關(guān)系，運(yùn)用對(duì)稱性可得定點(diǎn)．

解：（1）設(shè)⊙M的半徑為R，因?yàn)閳AM過，且與圓N相切

所以，即，

由，所以M的軌跡為以N，A為焦點(diǎn)的橢圓．

設(shè)橢圓的方程為1（a＞b＞0），則2a＝4，且c，

所以a＝2，b＝1，所以曲線C的方程為y2＝1；

（2）由題意可得直線BP，BQ的斜率均存在且不為0，

設(shè)直線BP的斜率為，則BP的方程為y＝kx+1，聯(lián)立橢圓方程，

可得，解得

則，

因?yàn)橹本�BQ的斜率為，

所以同理可得，

因?yàn)?/span>P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，（或求得直線l的方程為）

所以直線l過定點(diǎn)