Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足an+1-an=2，(n∈N*)，  a9=17；數(shù)列{b_n}滿足bn=3an．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由an+1-an=2，(n∈N*)，  a9=17，得數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，由此能求出a_n=2n-1．
（2）由a_n=2n-1，知bn=3an=3^2n-1=

1

3

•9n，由此能證明數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）∵an+1-an=2，(n∈N*)，  a9=17，
∴數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，且a₁+16=17，
解得a₁=1，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_n=2n-1．
（2）∵a_n=2n-1，
∴bn=3an=3^2n-1=

1

3

•9n，
∴bn+1=

1

3

•9n+1，
∴

bn+1

bn

=

1 3 •9n+1

1 3 •9n

=9，
∴數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．
∵bn=

1

3

•9n，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和
S_n=

1

3

（9+9²+9³+…+9ⁿ）=

1

3

×

9(1-9n)

1-9

=

3

8

（9ⁿ-1）．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等比數(shù)列的證明，考查等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．