在平面直角坐標(biāo)系XOY中,已知定點(diǎn)A(0,a),B(0,-a),M,N是x軸上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn),
OM
ON
=4a2(a∈R,a≠0)
,直線AM與直線BN交于C點(diǎn).
(1)求點(diǎn)C的軌跡方程;
(2)若存在過點(diǎn)(0,-1)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l與點(diǎn)C的軌跡交于不同的兩點(diǎn)E、F,且|AE|=|AF|,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo):C(x,y),M(m,0),N(n,0),根據(jù)A、C、M三點(diǎn)共線得到式子
a
-m
=
y-a
x
,根據(jù)B、C、N三點(diǎn)共線得到
-a
-n
=
y+a
x
,兩個(gè)式子的左右兩邊對應(yīng)相乘得到
-a2
mn
=
y2-a2
x2
,結(jié)合
OM
ON
=4a2
得到mn=4a2,代入前面式子,化簡整理可得:
x2
4a2
+
y2
a2
=1
,即為點(diǎn)C的軌跡方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)(0,-1)的直線l方程是y=kx-1,與橢圓消去y得關(guān)于x的方程:(1+4k2)x2-8kx+4-4a2=0…(*).再設(shè)直線l與交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),根據(jù)|AE|=|AF|得:x12+(y1-a)2=x22+(y2-a)2,將此式移項(xiàng)因式分解,結(jié)合經(jīng)過兩點(diǎn)的斜率公式,得:-k=
x1+x2
y1+y2-2a
,利用直線l的方程化簡可得:
x1+x2
k(x1+x2)-2-2a
=-k
.再將求出的一元二次方程利用根與系數(shù)的關(guān)系,得到x1+x2=
8k
1+4k2
,代入前式化簡得到k2=
3-a
4a
,將此式代到方程(*)的根的判別式,建立不等式,解之即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(1)設(shè)點(diǎn)C(x,y),M(m,0),N(n,0),則
OM
ON
=mn=4a2
(其中a∈R,a≠0)
∵A、C、M三點(diǎn)共線,B、C、N三點(diǎn)共線,
a-0
0-m
=
y-a
x-0
-a-0
0-n
=
y+a
x-0
,
a
-m
=
y-a
x
…①,
-a
-n
=
y+a
x
…②
①、②的左右兩邊對應(yīng)相乘,得
-a2
mn
=
y2-a2
x2
,
將mn=4a2代入,得
y2-a2
x2
=-
1
4

整理,得:
x2
4a2
+
y2
a2
=1
,即為點(diǎn)C的軌跡方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)(0,-1)的直線l方程是y=kx-1
y=kx-1
x2
4a2
+
y2
a2
=1
消去y,得關(guān)于x的方程:(1+4k2)x2-8kx+4-4a2=0,
設(shè)直線l與交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得
x1+x2=
8k
1+4k2
x1x2=
4-4a2
1+4k2
,
∵直線l點(diǎn)C的軌跡交于不同的兩點(diǎn)
∴△=64k2-4(1+4k2)(4-4a2)>0,得4a2k2+a2-1>0…(1)
由|AE|=|AF|得:x12+(y1-a)2=x22+(y2-a)2,
移項(xiàng),因式分解得:(x1 +x2)(x1-x2)=(y2-y1)(y1+y2-2a)
所以有:-k=
y2-y1
x1-x2
=
x1+x2
y1+y2-2a

∵y1=kx1-1,y2=kx2-1
x1+x2
k(x1+x2)-2-2a
=-k

x1+x2=
8k
1+4k2
代入上式,化簡得k2=
3-a
4a
…(2)
∵k2>0,∴0<a<3,
把(2)代入(1)得:a(3-a)+a2-1>0
化簡,解此不等式得:a>
1
3
,
1
3
<a<3
點(diǎn)評:本題給出一個(gè)特殊的動(dòng)點(diǎn),通過求軌跡方程和字母參數(shù)的取值范圍,著重考查了平面向量的數(shù)量積、求軌跡方程的一般步驟和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式等知識(shí)點(diǎn),考查了設(shè)而不求的數(shù)學(xué)解題方法,屬于難題.
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在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知圓心在直線y=x+4上,半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10.
(1)求圓C的方程;
(2)若F為橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在圓C上,且滿足PF=4,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A,B兩點(diǎn).若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
3
5
,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
,則sin(α+β)的值是
16
65
16
65

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1
的離心率為
1
2
,則m的值為
4
4

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(2013•泰州三模)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(0,1),B(0,-1),C(t,0),D(
3t
,0)
,其中t≠0.設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為P,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程(以t為參數(shù))及普通方程.

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x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),且橢圓C的離心率e=
1
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1,A2,Q是橢圓C上異于A1,A2的任一點(diǎn),直線QA1,QA2分別交x軸于點(diǎn)S,T,證明:|OS|•|OT|為定值,并求出該定值;
(3)在橢圓C上,是否存在點(diǎn)M(m,n),使得直線l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積;若不存在,請說明理由.

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