Question

1．已知拋物線：y²=2px（p＞0）的焦點F在雙曲線：$\frac{x^2}{3}$-$\frac{y^2}{6}$=1的右準線上，拋物線與直線l：y=k（x-2）（k＞0）交于A，B兩點，AF，BF的延長線與拋物線交于C，D兩點．
（1）求拋物線的方程；
（2）若△AFB的面積等于3，求k的值；
（3）記直線CD的斜率為k_CD，證明：$\frac{{{k_{CD}}}}{k}$為定值，并求出該定值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)雙曲線的右準線方程求出拋物線的焦點F，得出焦距p，即可寫出拋物線方程；
（2）設(shè)出拋物線上兩點A、B的坐標(biāo)，由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=k（x-2）\end{array}\right.$消去x，根據(jù)△AFB的面積和根與系數(shù)的關(guān)系即可求出k的值；
（3）設(shè)出拋物線上點C、D，利用向量法和三點共線的知識，求出點C與D的坐標(biāo)表示，再計算CD的斜率，即可證明$\frac{{{k_{CD}}}}{k}$為定值．

解答 解：（1）雙曲線：$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1$的右準線方程為：x=1；
所以拋物線的焦點為F（1，0），p=2；
所以拋物線的方程為：y²=4x；…（4分）
（2）設(shè)拋物線上兩點$A（\frac{y_1^2}{4}，{y_1}），B（\frac{y_2^2}{4}，{y_2}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=k（x-2）\end{array}\right.$，
得ky²-4y-8k=0，
所以△=16+32k²＞0，
${y_1}+{y_2}=\frac{4}{k}，{y_1}{y_2}=-8$；
△AFB的面積為
${S_{△AFB}}=\frac{1}{2}×1×|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$=$2\sqrt{\frac{1}{k^2}+2}=3$；
解得k=2；…（8分）
（3）設(shè)拋物線上點$C（\frac{y_3^2}{4}，{y_3}）$，
則$\overrightarrow{FA}=（\frac{y_1^2}{4}-1，{y_1}），\overrightarrow{FC}=（\frac{y_3^2}{4}-1，{y_3}）$；
因為A，F(xiàn)，C共線，
所以$（\frac{y_1^2}{4}-1）{y_3}-{y_1}（\frac{y_3^2}{4}-1）=0$，
即$y_3^2+（\frac{4}{y_1}-{y_1}）{y_3}-4=0$；
解得：y₃=y₁（舍）或${y_3}=-\frac{4}{y_1}$；
所以$C（\frac{4}{y_1^2}，-\frac{4}{y_1}）$，
同理$D（\frac{4}{y_2^2}，-\frac{4}{y_2}）$，
所以${k_{CD}}=\frac{{-\frac{4}{y_1}+\frac{4}{y_2}}}{{\frac{4}{y_1^2}-\frac{4}{y_2^2}}}$=$-\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}=2k$，
故$\frac{{{k_{CD}}}}{k}=2$為定值．…（12分）

點評 本題考查了直線與雙曲線、直線與拋物線的應(yīng)用問題，也考查了弦長公式以及根與系數(shù)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．