Question

已知拋物線(xiàn)f（x）=2x²-x上一點(diǎn)P（3，f（3））及附近一點(diǎn)P'（3+△x，f（3+△x）），則割線(xiàn)PP′的斜率為kPP′=

f(3+△x)-f(3)

△x

=

2△x+11

，當(dāng)△x趨近于0時(shí)，割線(xiàn)趨近于點(diǎn)P處的切線(xiàn)，由此可得到點(diǎn)P處切線(xiàn)的一般方程為

11x-y-18=0

．

Answer 1

分析：把3+△x和3代入f（x）=2x²-x，再代入公式KPP′=

f(3+△x)-f(3)

△x

整理后即可；求點(diǎn)P處切線(xiàn)的方程，可先把
KPP′=

f(3+△x)-f(3)

△x

求△x→0的極限值得到切線(xiàn)的斜率，求出f（3）后直接寫(xiě)出直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式，然后化為一般式．

解答：解：因?yàn)閒（x）=2x²-x，
則割線(xiàn)PP′的斜率為kPP′=

f(3+△x)-f(3)

△x

=

2(3+△x)2-(3+△x)-(2×32-3)

△x

=

18+12△x+2(△x)2-3-△x-18+3

△x

=

2(△x)2+11△x

△x

=2△x+11．
當(dāng)△x趨近于0時(shí)，割線(xiàn)趨近于點(diǎn)P處的切線(xiàn)，由此可得到點(diǎn)P處切線(xiàn)的斜率為：

lim

△x→0

(2△x+11)=11．
又f（3）=2×3²-3=15，所以P（3，15）．
所以，點(diǎn)P處切線(xiàn)的方程為y-15=11×（x-3），即為11x-y-18=0．
故答案分別為2△x+11，11x-y-18=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)變化率，考查了導(dǎo)數(shù)的概念與其幾何意義，函數(shù)在曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，就是函數(shù)圖象在該點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率．考查了直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式和一般式的互化，是基礎(chǔ)的概念題．