Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

，x∈R）圖象的一部分如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[-6，-

2

3

]時(shí)，判斷函數(shù)y=f（x）+f（x+2）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）由題圖知A=2，T=8，可求得ω，又圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2），可求得φ，從而可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）由（1）知f（x）=2sin（ 

π

4

x+

π

4

），化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，利用正弦函數(shù)的最大值，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答：解：（1）由題圖知A=2，T=8，
∵T=

2π

ω

=8，
∴ω=

π

4

．
又圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2），
∴2sin（

π

4

+φ）=2．
∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

4

，
∴f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）．
（2）函數(shù)y=f（x）+f（x+2）=2sin（

π

4

x+

π

4

）+2sin（

π

4

x+

π

4

+

π

2

）
=2sin（

π

4

x+

π

4

）+2cos（

π

4

x+

π

4

）．
=2

2

cos

π

4

x．
由2kπ-π≤

π

4

x≤2kπ，得8k-4≤x≤8k（k∈Z）．
又x∈[-6，-

2

3

]，x=-4時(shí)，函數(shù)取得最大值．
故g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-4，-

2

3

]．[-6，-4]是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查正弦函數(shù)的對(duì)稱性，屬于中檔題．