Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0），直線l：y=x+1與拋物線C交于A，B兩點，設(shè)直線OA，OB的斜率分別為k₁．k₂（其中O為坐標(biāo)原點），且k₁•k₂=-

1

4

．
（1）求p的值；
（2）如圖，已知點M（x₀，y₀）為圓：x²+y²-y=0上異于O點的動點，過點M的直線m交拋物線C于E，F(xiàn)兩點．若M為線段EF的中點，求|EF|的最大值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）直線l：y=x+1，代入拋物線方程，利用韋達定理，結(jié)合k₁•k₂=-

1

4

，求p的值；
（2）直線m：y=k（x-x₀）+y₀，代入x²=4y可得x²-4kx+4kx₀-4y₀=0，求出|EF|，利用基本不等式，即可求|EF|的最大值．

解答： 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線l：y=x+1，代入拋物線方程可化為x²-2px-2p=0，∴x₁x₂=-2p，
∴k₁•k₂=

x1x2

4p2

=-

1

2p

=-

1

4

，
∴p=2；
（2）設(shè)E（x₃，y₃），F(xiàn)（x₄，y₄），直線m：y=k（x-x₀）+y₀，
代入x²=4y可得x²-4kx+4kx₀-4y₀=0，
∴x₃+x₄=4k=2x₀，
∴k=

1

2

x₀，
∴x²-2x₀x+2x₀²-4y₀=0，
△=16y₀-4x₀²，
∴|EF|=

1+k2

|x₃-x₄|=

(4+x02)(4y0-x02)

，
∵x₀²+y₀²-y₀=0，
∴|EF|=

(4+y0-y02)(3y0+y02)

≤

(4+y0-y02)+(3y0+y02)

2

=2+2y₀≤4，
當(dāng)且僅當(dāng)y₀=1時，|EF|的最大值為4．

點評：本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．