Question

已知函數(shù)，．
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(3)設(shè)，若對任意的兩個實數(shù)滿足，總存在，使得成立，證明：．

Answer 1

(1) 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，；(2) 實數(shù)的取值范圍；(3) 詳見解析．

解析試題分析：（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由于含有對數(shù)式，可求出導(dǎo)數(shù)，在定義域內(nèi)解不等式，即得函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）恒成立，這是恒成立求參數(shù)范圍，常采用分離常數(shù)法，故本題分離出參數(shù)后變?yōu)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/0a/2/6ozzt2.png" style="vertical-align:middle;" />恒成立，構(gòu)造函數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)可求得，從而得實數(shù)的取值范圍；（3）證明：，由已知，可得，進(jìn)而可變形為，只需證明，設(shè)，其中，用導(dǎo)數(shù)可判斷，又，可得結(jié)論．
試題解析：(1)當(dāng)時，函數(shù)，
則．
當(dāng)時，，當(dāng)時，1，
則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，．    4分
(2)恒成立，即恒成立，整理得恒成立．
設(shè)，則，令，得．當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此當(dāng)時，取得最大值1，因而．        8分
(3)，．
因為對任意的總存在，使得成立，
所以，  即，
即
．              12分
設(shè)，其中，則，因而在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，，又．
所以，即．         14分
考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．