Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA=AB=1，G是PD的中點，E是AB的中點
（1）求證：GA⊥面PCD；
（2）求證：GA∥面PCE；
（3）求點G到面PCE的距離．

Answer 1

分析：（1）欲證GA⊥面PCD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AG與平面PCD內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)CD⊥AD，CD⊥PA，可證得CD⊥平面PAD，從而CD⊥AG，又PD⊥AG滿足線面垂直的判定定理條件；
（2）欲證GA∥面PCE，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證AG與平面PEC內(nèi)一直線平行，作EF⊥PC于F，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知EF⊥平面PCD，而AG⊥平面PCD，則EF∥AG，又AG?面PEC，EF?面PEC，滿足定理所需條件；
（3）由AG∥平面PEC知A、G兩點到平面PEC的距離相等先求出V_P-AEC的體積，再根據(jù)V_P-AEC=V_A-PEC建立等式關(guān)系，從而求出G點到平面PEC的距離．

解答：解：（1）證明：∵CD⊥AD，CD⊥PA
∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AG，
又PD⊥AG，∴GA⊥面PCD
（2）證明：作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD
∴EF⊥平面PCD，又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD
∴EF∥AG，又AG?面PEC，EF?面PEC，
∴GA∥面PCE
（3）由GA∥面PCE知A、G兩點到平面PEC的距離相等
由（2）知A、E、F、G四點共面，又AE∥CD∴AE∥平面PCD
∴AE∥GF，∴四邊形AEFG為平行四邊形，∴AE=GF
PA=AB=1，G為PD中點，F(xiàn)G

∥ .

.

1

2

CD
∴FG=

1

2

∴AE=FG=

1

2

（9分）
∴VP-AEC=

1

3

(

1

2

•

1

2

•1)•1=

1

12

又EF⊥PC，EF=AG=

2

2

∴S△EPC=

1

2

PC•EF=

1

2

•

3

•

2

2

= 

6

4

又V_P-AEC=V_A-PEC，∴

1

3

S△EPC•h=

1

12

，即

6

12

h=

1

12

，∴h=

6

6

∴G點到平面PEC的距離為

6

6

．

點評：本題主要考查了線面垂直的判定，以及線面平行的判定和點到平面的距離的度量，同時考查了空間想象能力、運算求解能力、推理論證的能力，屬于中檔題．