Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，CB=2，AA1=

3

，E、F分別是A₁C₁、BC的中點(diǎn)，若平面ABE⊥平面BB₁C₁C
（I）求證AB⊥BC
（II）FC₁∥平面ABE
（III）求平面ABE與平面EFC₁所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）取B₁C₁的中點(diǎn)G，連接EG，GB，過(guò)C作CH⊥GB于H，證明AB⊥平面BB₁C₁C，可得AB⊥BC；
（II）取AB中點(diǎn)D，連接ED，DF，證明FC₁∥ED，可得FC₁∥平面ABE
（III）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABE的法向量

m

=（

3

，0，-1），平面EFC₁的法向量取

n

=（

3

，1，-1），利用向量的夾角公式，即可求平面ABE與平面EFC₁所成銳二面角的余弦值．

解答：（I）證明：取B₁C₁的中點(diǎn)G，連接EG，GB，

則EG∥AB，GB是平面ABE與平面BB₁C₁C的交線
過(guò)C作CH⊥GB于H，則∵平面ABE⊥平面BB₁C₁C
∴CH⊥平面ABE，∴CH⊥AB
∵CC₁⊥AB，CC₁∩CH=C
∴AB⊥平面BB₁C₁C
∵BC?平面BB₁C₁C
∴AB⊥BC
（II）證明：取AB中點(diǎn)D，連接ED，DF，則DF∥EC₁，且DF=EC₁，
∴FC₁∥ED
∵FC₁?平面ABE，ED?平面ABE
∴FC₁∥平面ABE
（III）解：∵AB⊥BC，∴AB=2

3

建立如圖所示的坐標(biāo)系，則B（0，0，0），A（0，2

3

，0），E（1，

3

，

3

），F(xiàn)（1，0，0），C₁（2，0，

3

）
∴

BA

=（0，2

3

，0），

BE

=（1，

3

，

3

），

EC1

=（1，-

3

，0），

FC1

=(1，0，

3

)
設(shè)

m

=（x，y，z）是平面ABE的法向量，則

BA • m =0 BE • m =0

，即

2 3 y=0 x+ 3 y+ 3 z=0

，可取

m

=（

3

，0，-1）；
設(shè)

n

=（x′，y′，z′）是平面EFC₁的法向量，則

EC1 • n =0 FC1 • n =0

，即

x′- 3 y′=0 x′+ 3 z′=0

，可取

n

=（

3

，1，-1）
∴平面ABE與平面EFC₁所成銳二面角的余弦值為|

m • n

| m || n |

|=

3+1

2× 5

=

2 5

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查線面平行，考查面面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直、線面平行的判定方法，正確求出平面的法向量．