Question

如圖，給出定點(diǎn)A（a，0）（a＞0）和直線l：x=－1.B是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，∠BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C.求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系.

注：文科題設(shè)還有條件a≠1

Answer 1

答案：
解析：

解：解法一：依題意，記B（－1，b）（b∈R），則直線OA和OB的方程分別為y=0和y=－bx.設(shè)點(diǎn)C（x，y），則有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知點(diǎn)C到OA、OB距離相等.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得 |y|=① 依題設(shè)，點(diǎn)C在直線AB上，故有：y=－（x－a） 由x－a≠0，得b=－    ② 將②式代入①式得：y2［1+］=［y－］2. 整理得：y2［（1－a）x2－2ax+（1+a）y2］=0 若y≠0，則（1－a）x2－2ax+（1+a）y2=0（0＜x＜a）； 若y=0，則b=0，∠AOB=π，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0）.滿足上式. 綜上得點(diǎn)C的軌跡方程為：（1－a）x2－2ax+（1+a）y2=0（0≤x＜a）. ∵ a≠1， ∴（0≤r＜a ③ 由此知，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，方程③表示橢圓弧段； 當(dāng)a＞1時(shí)，方程③表示雙曲線一支的弧段. 解法二：如圖，設(shè)D是l與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE⊥x軸，E是垂足 （Ⅰ）當(dāng)|BD|≠0時(shí)，設(shè)點(diǎn)C（x，y）， 則0＜x＜a，y≠0. 由CE∥BD，得 |BD|=（1+a） ∵∠COA=∠COB=∠COD－∠BOD=π－∠COA－∠BOD ∴2∠COA=π－∠BOD ∵tan（2∠COA）=， tan（π－∠BOD）=－tanBOD， tanCOA=， tanBOD=（1+a） ∴（1+a） 整理得：（1－a）x2－2ax+（1+a）y2=0（0＜x＜a） （Ⅱ）當(dāng)|BD|=0時(shí)，∠BOA=π，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0），滿足上式 綜合（Ⅰ）（Ⅱ），得點(diǎn)C的軌跡方程為 （1－a）x2－2ax+（1+a）y2=0（0≤x＜a）. 以下同解法一.