Question

已知函數(shù).

（Ⅰ）求的極值； 

（II）判斷y=f(x)的圖像是否是中心對(duì)稱圖形，若是求出對(duì)稱中心并證明，否則說(shuō)明理由；

（III）設(shè)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052113275073432175/SYS201205211329139843134269_ST.files/image003.png">,是否存在.當(dāng)時(shí)，的取值范圍是？若存在,求實(shí)數(shù)、的值；若不存在，說(shuō)明理由

 

Answer 1

【答案】

 

是的一個(gè)極大值, 是的一個(gè)極小值.

、不存在

【解析】

解：(I)  .注意到，即，

得或．所以當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

 

 

所以是的一個(gè)極大值, 是的一個(gè)極小值.

證法1：方程（曲線）觀點(diǎn)要證f(x)的圖像關(guān)于對(duì)稱，只需證明點(diǎn)Q也在y=f(x)上，即證

(II) 點(diǎn)的中點(diǎn)是,所以的圖象的對(duì)稱中心只可能是.

 

設(shè)為的圖象上一點(diǎn),關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是Q，

因，又

所以，

證2：函數(shù)的觀點(diǎn)證明中心對(duì)稱：要證y=f(x)圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，只需證

即點(diǎn)也在函數(shù)y=f(x)的圖像上。

 

設(shè)為的圖象上一點(diǎn),關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是……

 (III) 假設(shè)存在實(shí)數(shù)、.,或.

若, 當(dāng)時(shí), ,而.故不可能…

若,當(dāng)時(shí), ,而.故不可能….

若,由的單調(diào)遞增區(qū)間是,知是的兩個(gè)解.而無(wú)解. 故此時(shí)的取值范圍是不可能是.

綜上所述,假設(shè)錯(cuò)誤,滿足條件的實(shí)數(shù)、不存在.