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某工廠生產一種產品的成本費共由三部分組成:①原材料費每件50元;②職工工資支出7500+20x元;③電力與機器保養(yǎng)等費用為x2-30x+600元:其中x是該廠生產這種產品的總件數.
(I)把每件產品的成本費p(x)(元)表示成產品件數x的函數,并求每件產品的最低成本費;
(Ⅱ)如果該廠生產的這種產品的數量x不超過170件且能全部銷售,根據市場調查,每件產品的銷售價為Q(x)(元),且
Q(x)=1240-
130
x2
.試問生產多少件產品,總利潤最高?并求出最高總利潤.(總利潤=總銷售額-總的成本)
分析:(I)根據每件產品的成本費P(x)等于三部分成本和,建立函數關系,再利用基本不等式求出最值即可;
(Ⅱ)設總利潤為y元,根據總利潤=總銷售額-總的成本求出總利潤函數,利用函數與導數知識方法求解.
解答:解:(I)P(x)=50+
7500+20x
x
+
x2-30x+600
x
=
8100
x
+x+40.
由基本不等式得P(x)≥2
8100
x
•x
+40=220.當且僅當
8100
x
=x,即x=90時,等號成立.
所以P(x)=
8100
x
+x+40.每件產品的最低成本費為220 元.
(Ⅱ)設總利潤為y=f(x)=xQ(x)-xP(x)=-
1
30
x3 -x2+1200x-8100

f′(x)=-
1
10
x2 -2x +1200
=-
1
10
(x-100)(x+120)
當0<x<100時,f′(x)>0,當x>100時,f′(x)<0.
所以f(x)在(0,100)單調遞增,在(100,170)單調遞減,
所以當x=100時,ymax=f(100)=
205700
3

故生產100件產品時,總利潤最高,最高總利潤為
205700
3
點評:本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用,以及函數與導數知識方法,同時考查了建模的能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•長寧區(qū)一模)某工廠生產一種產品的原材料費為每件40元,若用x表示該廠生產這種產品的總件數,則電力與機器保養(yǎng)等費用為每件0.05x元,又該廠職工工資固定支出12500元.
(1)把每件產品的成本費P(x)(元)表示成產品件數x的函數,并求每件產品的最低成本費;
(2)如果該廠生產的這種產品的數量x不超過3000件,且產品能全部銷售,根據市場調查:每件產品的銷售價Q(x)與產品件數x有如下關系:Q(x)=170-0.05x,試問生產多少件產品,總利潤最高?(總利潤=總銷售額-總的成本)

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試問:產量是多少時總利潤最大?最大利潤是多少?

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科目:高中數學 來源: 題型:

某工廠生產一種產品的固定成本是20000元,每生產一件產品需要另外投入100元,市場銷售部進行調查后得知,市場對這種產品的年需求量為1000件,且銷售收入函數g(t)=-
12
t2+1000t
,其中t是產品售出的數量,且0≤t≤1000.(利潤=銷售收入-成本)
(1)若x為年產量,y表示利潤,求y=f(x)的解析式;
(2)當年產量為多少時,工廠的利潤最大,最大值為多少?

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科目:高中數學 來源: 題型:

某工廠生產一種產品的成本費由三部分組成:①職工工資固定支出12500元;②原材料費每件40元;③電力與機器保養(yǎng)等費用為每件0.05x元,其中x是該廠生產這種產品的總件數.
(1)把每件產品的成本費P(x)(元)表示成產品件數x的函數,并求每件產品的最低成本費;
(2)如果該廠生產的這種產品的數量x不超過3000件,且產品能全部銷售.根據市場調查:每件產品的銷售價Q(x)與產品件數x有如下關系:Q(x)=170-0.05x,試問生產多少件產品,總利潤最高?(總利潤=總銷售額-總的成本)

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