如圖，四棱錐P-ABCD的底面為菱形且∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=2
3
，E為PC的中點．
（1）求直線DE與平面PAC所成角的大��；
（2）求C點到平面PBD的距離．
分析：（1）連AC，BD交于點O，以O為原點，OA，OB，OE分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．用坐標表示點與向量，求出平面PAC的一個法向量，進而利用向量的夾角公式，可求直線DE與平面PAC所成角的大小．
（2）由（1）知，
DB
=(0，2，0)，
DP
=(
3
，1，2
3
)，
CD
=(
3
，-1，0)，求出平面PBD的一個法向量
進而利用d=
|
CD
•
n
|
|
n
|
=
3
5
=
3
5
5
可求．
解答：解：（1）如圖，連AC，BD交于點O，又由底面ABCD為菱形可得BD⊥AC，且點O是AC的中點，連接OE，又E為PC的中點，所以EO∥PA．
由PA⊥底面ABCD，可得EO⊥底面ABCD
以O為原點，OA，OB，OE分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系
則有O（0，0，0），A（
3
，0，0），B（0，1，0），C（-
3
，0，0），D（0，-1，0），P（
3
，0，2
3
），E（0，0，
3
）
依題意得
DB
=(0，2，0)即為平面PAC的一個法向量
又
DE
=(0，1，
3
)，所以cos＜
DB
，
DE
＞=
2
2×2
=
1
2

所以＜
DB
，
DE
＞=60°直線DE與平面PAC所成角的大小為30°
（2）由（1）知，
DB
=(0，2，0)，
DP
=(
3
，1，2
3
)，
CD
=(
3
，-1，0)
設
n
=(x，y，z)為平面PBD的一個法向量
由
n
⊥
DB
與
n
⊥
DP
得
2y=0
3
x+y+2
3
z=0

令x=1，取
n
=(1，0，-2)∴C點到平面PBD的距離為d，
則d=
|
CD
•
n
|
|
n
|
=
3
5
=
3
5
5
．
點評：本題以四棱錐為載體，考查線面角，考查點面距離，關鍵是構建空間直角坐標系．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大�。划斊矫鍭BCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案