Question

已知橢圓4x²+y²=1，O是坐標原點．
（Ⅰ）設(shè)橢圓在第一象限的部分曲線為C，動點P在C上，C在點P處的切線與x軸、y軸的交點分別為G、H，以O(shè)G、OH為鄰邊作平行四邊形OGMH，求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）若橢圓與x軸y軸正半軸交于A、B兩點，直線y=kx（k＞0）與橢圓交于R、S兩點，求四邊形ARBS面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）曲線C的方程化為y=

1-4x2

，（0＜x＜

1

2

，0＜y＜1），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出過點P的切線方程，從而求出G點和H點坐標，由四邊形OGMH為平行四邊形，求出M點坐標，由此能求出點M的軌跡方程．
（Ⅱ）設(shè)點R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），聯(lián)立

y=kx 4x2+y2=1

，得（k²+4）x²-1=0，由S_{四邊形ARBS}=S_△RBS+S_△RAS，利用韋達定理和均值定理能求出四邊形ARBS面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，曲線C的方程可化為：
y=

1-4x2

，（0＜x＜

1

2

，0＜y＜1）
∴y′=

-8x

2• 1-4x2

=

-4x

1-4x2

，
設(shè)曲線C上點P的坐標標為（x₀，y₀），
則點P處的切線斜率為：
y′|x=x0=

-4x0

1-4x02

=-

4x0

y0

，
∴過點P的切線方程為y-y₀=-

4x0

y0

(x-x0)，
令x=0，得y=y₀+

4x02

y0

=

1

y0

，
令y=0，得x=x₀+

y02

4x0

=

1

4x0

，
∴G（

1

4x0

，0），H（0，

1

y0

），
設(shè)點M從標為（x，y），
∵四邊形OGMH為平行四邊形，∴

OM

=

OG

+

OH

，
∴

x= 1 4x0 y= 1 y0

，即

x0= 1 4x y0= 1 y

，
又∵點P在橢圓上，∴4（

1

4x

）²+（

1

y

）²=1，
整理，得

1

4x2

+

1

y2

=1，x＞

1

2

，y＞1，
∴點M的軌跡方程為：

1

4x2

+

1

y2

=1，x＞

1

2

，y＞1．
（Ⅱ）設(shè)點R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=kx 4x2+y2=1

，得（kx）²+4x²=1，即（k²+4）x²-1=0，
∴x₁+x₂=0，x1x2=-

1

k2+4

，
由題意知S_{四邊形ARBS}=S_△RBS+S_△RAS
=

1

4

(2+k)|x1-x2|
=

1

4

（2+k）

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

4

(2+k)2•4 k2+4

=

1

2

4+4k+k2 k2+4

=

1

2

1+ 4 k+ 4 k

≤

1

2

1+ 4 2 k• 4 k

=

2

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)k=

4

k

（k＞0），即k=2時，取“=”號，
∴四邊形ARBS面積的最大值為

2

2

．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查四邊形面積最大值的求法，解題時要認真審題，注意均值定理的合理運用．