Question

已知函數(shù)f(x)=

1 2 x+1(-2≤x≤0) 2|x-2(0＜x≤2)

，函數(shù)g（x）=ax-1，x∈[-2，2]，對于任意x₁∈[-2，2]，總存在x₀∈[-2，2]，
使得g（x₀）=f（x₁）成立．
（1）求f（x）的值域．
（2）求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對于分段函數(shù)的值域問題要分段求解，然后再綜合即可得出f（x）的值域；
（2）根據(jù)對于任意x₁∈[-2，2]，總存在x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，得到函數(shù)f（x）在[-2，2]，上值域是g（x）在[-2，2]，上值域的子集，下面利用求函數(shù)值域的方法求函數(shù)f（x）、g（x）在[-2，2]，上值域，并列出不等式，解此不等式組即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）當 x∈[-2，0]時，f(x)=

1

2

x+1在[-2，0]上是增函數(shù)，此時f(x)∈[0，1]
當 x∈（0，2]時，f（x）=2^|x-2|=2^2-x在（0，，2]上是減函數(shù)，此時f（x）∈[1，4）
∴f（x）的值域為：[0，4]；
（2）①若a=0，g（x）=-1，對于任意 x₁∈[-2，2]，f（x₁）∈[0，4]，不存在x₀∈[-2，2]，使g（x₀）=f（x₁）
②當a＞0時，g（x）=ax-1在[-2，2]是增函數(shù)，g（x）∈[-2a-1，2a-1]
任給 x₁∈[-2，2]，f（x₁）∈[0，4]
若存在x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立
則 [0，4]⊆[-2a-1，2a-1]∴

-2a-1≤0 2a-1≥4

，∴a≥

5

2

③a＜0，g（x）=ax-1在[-2，2]是減函數(shù)，g（x）∈[2a-1，-2a-1]
∴

2a-1≤0 -2a-1≥4

，∴a≤-

5

2

綜上，實數(shù) a∈(-∞，-

5

2

]∪[

5

2

，+∞)．

點評：此題是中檔題．考查利用導數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，難點是題意的理解與轉化，體現(xiàn)了轉化的思想．同時也考查了同學們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能．