定義在R上的函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d滿足:函數(shù)f(x+2)的圖象關(guān)于點(-2,0)對稱;函數(shù)f(x)的圖象過點P(3,-6);函數(shù)f(x)在點x1,x2處取得極值,且|x1-x2|=4.
(1)求f(x)表達式;
(2)求曲線y=f(x)在點P處的切線方程;
(3)求證:?α、β∈R,-
64
3
≤f(2cosα)-f(2sinβ)≤
64
3
分析:(1)f(x+2)的圖象關(guān)于點(-2,0)對稱,即f(x)的圖象關(guān)于點(0,0)對稱,求出b,d的值,根據(jù)韋達定理得到關(guān)于a,c的等式,將點(3,-6)代入f(x)的解析式得到a,c的另一個等式,解方程組求出a,c的值,代入f(x)中得到其解析式.
(2)根據(jù)曲線的解析式求出導函數(shù),把P的橫坐標代入導函數(shù)中即可求出切線的斜率,根據(jù)P的坐標和求出的斜率寫出切線的方程即可;
(3)求出f(x)的導函數(shù),判斷出導函數(shù)在[-2,2]上的符號,判斷出函數(shù)在[-2,2]上的單調(diào)性,求出f(x)在[-2,2]上的最值,得證.
解答:解:(1)f(x+2)的圖象關(guān)于點(-2,0)對稱,即f(x)的圖象關(guān)于點(0,0)對稱,
∴d=0,b=0,
又函數(shù)f(x)的圖象過點P(3,-6),∴9a+c=-2,
f(x)=ax3+bx2+cx=0兩根為x1,x2,且|x1-x2|=4,
4b2-12ac>0
x1+x2=-
2b
3a
x1x2=
c
3a
ac<0
x1x2=0
x1x2=
c
3a
=-4

又|x1-x2|2=
4b2
9a2
-
4c
3a
=16,c=-12a
∴a=
2
3
,b=0,c=-8,d=0,
∴f(x)=
2
3
x3
-8x;
(2)f′(x)=2x2-8,f′(3)=18,
∴切線方程為:10x-y-36=0;
(3)當-2≤x≤2時,f′(x)=2x2-8≤0,∴f(x)在[-2,2]上遞減,
又?α∈R,-2≤2cosα≤2,∴-
32
3
≤f(2)≤f(2cosα)≤f(-2)=
32
3
,
同理,-
32
3
≤f(2)≤f(2sinβ)≤f(-2)=
32
3

∴?α、β∈R,-
64
3
≤f(2cosα)-f(2sinβ)≤
64
3
點評:本題主要考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、函數(shù)的單調(diào)性、極值點與其導函數(shù)之間的關(guān)系.導數(shù)是高考的熱點問題,每年必考,要給予重視.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù),若f(x)的最小正周期是π,且當x∈[0,
π
2
]時,f(x)=sinx,則f(
3
)的值為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

20、已知定義在R上的函數(shù)f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R),函數(shù)F(x)=f(x)-3x2是奇函數(shù),函數(shù)f(x)在x=-1處取極值.
(1)求f(x)的解析式;
(2)討論f(x)在區(qū)間[-3,3]上的單調(diào)性.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x+2)=
1-f(x)1+f(x)
,當x∈(0,4)時,f(x)=x2-1,則f(2010)=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤
π
2
),最大值與最小值的差為4,相鄰兩個最低點之間距離為π,函數(shù)y=sin(2x+
π
3
)圖象所有對稱中心都在f(x)圖象的對稱軸上.
(1)求f(x)的表達式;    
(2)若f(
x0
2
)=
3
2
(x0∈[-
π
2
,
π
2
]),求cos(x0-
π
3
)的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,且有如下對應值表:
x 0 1 2 3
f(x) 3.1 0.1 -0.9 -3
那么函數(shù)f(x)一定存在零點的區(qū)間是( 。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案