Question

已知函數(shù)y=f（x），x∈R，有下列4個(gè)命題：
①若f（1+2x）=f（1-2x），則f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
②f（x-2）與f（2-x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；
③若f（x）為偶函數(shù)，且f（2+x）=-f（x），則f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；
④若f（x）為奇函數(shù)，且f（x）=f（-x-2），則f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱．
其中正確的命題為

①②③④

．

Answer 1

分析：①令1-2x=t，則1+2x=2-t，f（1+2x）=f（1-2x）?f（2-t）=f（t），f（t）關(guān)于t=1，從而可判斷①正確；
②同①，用換元法可判斷②正確；
③根據(jù)條件可得到f（4-x）=f（x），圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，正確；
④同③可得到，f（2-x）=f（x），f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，正確．

解答：解：對(duì)于①，令1-2x=t，則2x=1-t，1+2x=2-t，
∴f（1+2x）=f（1-2x）?f（2-t）=f（t）?f（2-x）=f（x），
∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，正確；
②令x-2=t，則y=f（x-2）=f（t），y=f（2-x）=f（-t），顯然y=f（t）與y=f（-t）的圖象關(guān)于直線t=0，即x=2對(duì)稱，故②正確；
③∵f（x）為偶函數(shù)，且f（2+x）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），即f（x）是4為周期的偶函數(shù)，
∴f（4-x）=f（-x）=f（x），
∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，正確；
④∵f（x）為奇函數(shù)，且f（x）=f（-x-2），
∴f（x+2）=-f（x）=f（-x），用-x代x得：
f（2-x）=f（x），
∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，正確．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，突出考查抽象函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱問題，既有曲線自身的關(guān)于直線的對(duì)稱，也有兩曲線關(guān)于一直線的對(duì)稱問題，關(guān)鍵掌握曲線關(guān)于直線x=a對(duì)稱的規(guī)律：f（x）=f（2a-x），屬于難題．