Question

求證：對任意的整數(shù)k，

sin( 2k+1 2 π-α)×cos( 2k+1 2 π+α)

sin( 2k+3 2 π+α)×cos( 2k-1 2 π-α)

=-1．

Answer 1

考點：運用誘導(dǎo)公式化簡求值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由誘導(dǎo)公式分k為奇數(shù)和偶數(shù)分別化簡可得．

解答： 證明：化簡可得左邊=

sin(kπ+ π 2 -α)cos(kπ+ π 2 +α)

sin(kπ+ 3π 2 +α)cos(kπ- π 2 -α)

，
當k為偶數(shù)時，上式=

sin( π 2 -α)cos( π 2 +α)

sin( 3π 2 +α)cos(- π 2 -α)

=

cosα(-sinα)

-cosα(-sinα)

=-1；
當k為奇數(shù)時，上式=

-sin( π 2 -α)[-cos( π 2 +α)]

-sin( 3π 2 +α)[-cos(- π 2 -α)]

=

cosα(-sinα)

-cosα(-sinα)

=-1
綜上可得，任意的整數(shù)k，

sin( 2k+1 2 π-α)×cos( 2k+1 2 π+α)

sin( 2k+3 2 π+α)×cos( 2k-1 2 π-α)

=-1．

點評：本題考查誘導(dǎo)公式，涉及分類討論的思想，屬基礎(chǔ)題．