Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x-2）是偶函數(shù)且f（x+1）是奇函數(shù)，又f（4）=2013，則f（2014）=

 

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Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意求出函數(shù)f（x）的對稱軸為x=-2，對稱中心為（1，0），從而求出函數(shù)f（x）的周期，進而求出f（2014）的值．

解答： 解：∵f（x-2）是偶函數(shù)，∴f（x-2）的對稱軸為x=0，
f（x-2）向左平移兩個單位得到f（x）的圖象，∴f（x）的對稱軸為x=-2，
∵f（x+1）是奇函數(shù)，∴f（x+1）的對稱中心為（0，0），
f（x+1）向右平移1個單位得到f（x）的圖象，∴f（x）的對稱中心為（1，0）
對稱軸與對稱中心的距離為3，∴周期T=4×3=12，
由2014=12×167+10，∴f（2014）=f（10）=f（-2），
f（-2）和f（4）正好關(guān)于f（x）的對稱中心（1，0）對稱，
而f（4）=2013，∴f（-2）=-2013，∴f（2014）=-2013，
故答案為：-2013．

點評：本題考查了函數(shù)的周期性，函數(shù)的奇偶性，是一道中檔題．