Question

【題目】已知 為整數(shù)，且，，為正整數(shù)，，，記.

(1)試用分別表示；

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切正整數(shù)，均為整數(shù)．

Answer 1

【答案】(1) ； (2)見解析.

【解析】

（1）令，結(jié)合條件，即可求解；

（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法和兩角和差的公式，結(jié)合條件，即可得到證明.

(1)由題意，令，可得，

所以

(2) ①當(dāng)n＝1時(shí)，由(1)得A1＝x2－y2，B1＝2xy.

因?yàn)?/span>x，y為整數(shù)，

所以A1，B1均為整數(shù)，所以結(jié)論成立；

②當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)，假設(shè)Ak，Bk均為整數(shù)，

則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，Ak＋1＝(x2＋y2)k＋1cos (k＋1)θ

＝(x2＋y2)(x2＋y2)k(cos kθcos θ－sin kθsin θ)

＝(x2＋y2)cos θ·(x2＋y2)kcos kθ－(x2＋y2)ksin kθ·(x2＋y2)sinθ

＝A1·Ak－B1·Bk.

因?yàn)?/span>A1，B1，均為整數(shù)，所以Ak＋1也為整數(shù)，

即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立．

綜合①②得，對(duì)一切正整數(shù)n，An均為整數(shù)．