定義在D={x∈R|x≠0}上的函數(shù)f（x）滿足兩個條件：①對于任意x、y∈D，都有f（x）f（y）-f（xy）=
x2+y2
xy
；②曲線y=f（x）存在與直線x+y+1=0平行的切線．
（Ⅰ）求過點（-1，
1
4
）的曲線y=f（x）的切線的一般式方程；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，+∞），n∈N+時，求證：fn（x）-f（xn）≥2n-2．
分析：（Ⅰ）令x=y=1，可求得f（1）=2，從而可求得f（x）=x+
1
x
，設(shè)過點（-1，
1
4
）的切線切曲線y=f（x）于（x0，x0+
1
x0
），則切線的斜率為1-
1
x02
，于是可求得切線方程，將點（-1，
1
4
）的坐標(biāo)代入方程即可求得x0，從而可得過點（-1，
1
4
）的曲線y=f（x）的切線的一般式方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x+
1
x
，當(dāng)n∈N*時，fn（x）-f（xn）=(x+
1
x
)n-（xn+
1
xn
），利用二項式定理將(x+
1
x
)n展開，采用倒序相加法可求得2（fn（x）-f（xn）），再利用基本不等式即可證得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）令x=y=1得，f2（1）-f（1）=2，解得f（1）=-1或f（1）=2．
當(dāng)f（1）=-1時，令y=1得，f（x）=-
x2+1
2x
，即f（x）=-
1
2
（x+
1
x
），
f′（x）=-
1
2
（1-
1
x2
），
由f′（x）=-1得，x2=-1，此方程在D上無解，這說明曲線y=f（x）不存在與直線x+y+1=0平行的切線，不合題意，
則f（1）=2，此時，令y=1得，f（x）=
x2+1
x
=x+
1
x
，f′（x）=1-
1
x2
，
由f′（x）=-1得，x2=
1
2
，此方程在D上有解，符合題意．
設(shè)過點（-1，
1
4
）的切線切曲線y=f（x）于（x0，x0+
1
x0
），則切線的斜率為1-
1
x02
，
其方程為y-x0-
1
x0
=（1-
1
x02
）（x-x0），把點（-1，
1
4
）的坐標(biāo)代入整理得，
5x02-8x0-4=0，解得x0=-
2
5
或x0=2，
把x0=-
2
5
或x0=2分別代入上述方程得所求的切線方程是：y=-
21
4
x-5和y=
3
4
x+1，
即21x+4y+20=0和3x-4y+4=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x+
1
x
，當(dāng)n∈N*時，
fn（x）-f（xn）=(x+
1
x
)n-（xn+
1
xn
）
=
C
1
n
xn-1•
1
x
+
C
2
n
xn-2•
1
x2
+…+
C
n-2
n
x2•
1
xn-2
+
C
n-1
n
x•
1
xn-1

=
C
1
n
xn-2+
C
2
n
xn-4+…+
C
n-2
n
1
xn-4
+
C
n-1
n
1
xn-2
，
由x∈（0，+∞），n∈N*知，xn∈（0，+∞），那么
2（fn（x）-f（xn））=
C
1
n
xn-2+
C
2
n
xn-4+…+
C
n-2
n
1
xn-4
+
C
n-1
n
1
xn-2

+
C
n-1
n
1
xn-2
+
C
n-2
n
1
xn-4
+…+
C
2
n
xn-4+
C
1
n
xn-2
=
C
1
n
xn-2+
C
2
n
xn-4+…+
C
n-2
n
1
xn-4
+
C
n-1
n
1
xn-2

+
C
1
n
1
xn-2
+
C
2
n
1
xn-4
+…+
C
n-2
n
xn-4+
C
n-1
n
xn-2
=
C
1
n
（xn-2+
1
xn-2
）+
C
2
n
（xn-4+
1
xn-4
）+…+
C
n-1
n
（xn-2+
1
xn-2
）
≥2
C
1
n
+2
C
2
n
+…+2
C
n-1
n
）
=2（
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n-1
n
）
=2[（
C
0
n
+
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n-1
n
+
C
n
n
）-
C
0
n
-
C
n
n
）]
=2（2n-2）
所以fn（x）-f（xn）≥2n-2．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查不等式的證明，突出二項式定理及倒序相加法與基本不等式的綜合運用，屬于難題．
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（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，+∞），n∈N+時，求證：fn（x）-f（xn）≥2n-2．

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x2+y2
xy
；②曲線y=f（x）存在與直線x+y+1=0平行的切線．
（Ⅰ）求過點（-1，
1
4
）的曲線y=f（x）的切線的一般式方程；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，+∞），n∈N+時，求證：fn（x）-f（xn）≥2n-2．

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（Ⅰ）求過點（-1，）的曲線y=f（x）的切線的一般式方程；
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